Soutenance de thèse - M. Théophile CABY (CPT)

Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que

Monsieur Théophile CABY

Doctorant en cotutelle au laboratoire CPT

sous la direction de

M. Sandro VAIENTI, Professeur des Universités, Université de Toulon (France), directeur de thèse

et

M. Giorgio MANTICA, Professeur des Universités, Université d’Insubrie (Italie), Co-directeur

soutiendra publiquement sa thèse en vue de l’obtention du

Doctorat en Mathématiques

sur le thème suivant :

Théorie des Valeurs Extrêmes pour les Systèmes Dynamiques

Avec applications au climat et aux neurosciences

Vendredi 20 décembre 2019 à 14h00

à l’Université d’Insubrie - Côme - Italie - Salle VP4, Visa Valleggio, Come 2

devant un jury composé de :

  • Mme Ana Cristina MOREIRA FREITAS, Professeure Associée, Université de Porto (Portugal), Rapporteure
  • M. Stefano GALATOLO, Professeur des Universités, Université de Pise (Italie), Rapporteur
  • M. Giampaolo CRISTADORO, Professeur Associé, Université de Milan (Italie), Examinateur
  • M. Jorge MILHAZES DE FREITAS, Professeur des Universités, Université de Porto (Portugal), Examinateur
  • M. Giorgio MANTICA, Professeur des Universités, Université d’Insubrie (Italie), Co-Directeur de thèse
  • M. Sandro VAIENTI, Professeur des Universités, Université de Toulon, Directeur de thèse

Résumé

Tout au long de la thèse, nous discuterons, améliorerons et fournirons un cadre conceptuel dans lequel des méthodes basées sur les propriétés de récurrence de dynamiques chaotiques peuvent être comprises. Nous fournirons également de nouvelles méthodes basées sur l’EVT pour calculer les quantités importantes associées à la dynamique. Nos résultats sont rigoureux d’un point de vue mathématique, même si l’accent sera mis sur les applications physiques et les calculs numériques, car l’utilisation de telles méthodes se développe rapidement. Nous commencerons par un chapitre introductif à la théorie dynamique des événements extrêmes, dans lequel nous décrirons les principaux résultats de la théorie qui seront utilisés tout au long de la thèse. Après un petit chapitre dans lequel nous introduisons certains objets caractéristiques de la mesure invariante du système, à savoir les dimensions locales et les dimensions généralisées, nous consacrons les chapitres suivants à l’utilisation de l’EVT pour calculer de telles quantités dimensionnelles. L’une de ces méthodes définit naturellement un nouvel indicateur global sur les propriétés hyperboliques du système. Dans ces chapitres, nous présenterons plusieurs applications numériques de ces méthodes, à la fois dans des systèmes réels et idéalisés, et étudierons l’influence de différents types de bruit sur ces indicateurs. Nous examinerons ensuite une question d’importance physique liée à l’EVT : les statistiques de visites dans certains sous-ensembles cibles spécifiques de l’espace de phase, en particulier pour les systèmes partiellement aléatoires. Les résultats présentés dans cette section sont principalement numériques et hypothétiques, mais révèlent un comportement universel des statistiques de visites. Le huitième chapitre établit la connexion entre plusieurs quantités locales associées à la dynamique et calculées à l’aide d’une quantité finie de données (dimensions locales, temps d’entées, temps de retour) et les dimensions généralisées du système, qui calculables par les méthodes EVT. Ces relations, énoncées dans le langage de la théorie des grandes déviations (que nous exposerons brièvement), ont de profondes implications physiques et constituent un cadre conceptuel dans lequel le fait de calculer une distribution étalée de ces quantités locales peut être comprise. Nous tirons ensuite parti de ces connexions pour concevoir d’autres méthodes permettant de calculer les dimensions généralisées d’un système. Enfin, dans la dernière partie de la thèse, qui est plus expérimentale, nous étendons la théorie dynamique des événements extrêmes à des observables plus complexes, ce qui nous permettra d’étudier des phénomènes évoluant sur de longues échelles temporelles. Nous allons considérer l’exemple des cascades d’excitation dans un modèle de réseau de neurones. À travers cet exemple, nous allons introduire une nouvelle approche pour étudier de tels systèmes complexes.

Mots clés : Systèmes Dynamiques, Théorie Valeurs Extrêmes, Dimensions Fractales, Formalisme Thermodynamique

Extreme Value Theory for dynamical systems, with applications in climate and neuroscience

Abstract

Throughout the thesis, we will discuss, improve and provide a conceptual framework in which methods based on recurrence properties of chaotic dynamics can be understood. We will also provide new EVT-based methods to compute quantities of interest and introduce new useful indicators associated to the dynamics. Our results will be mathematically rigorous, although emphasis will be placed on physical applications and numerical computations, as the use of such methods is developing rapidly. We will start by an introductory chapter to the dynamical theory of extreme events, in which we will describe the principal results of the theory that will be used throughout the thesis. After a small chapter where we introduce some objects that are characteristic of the invariant measure of the system, namely local dimensions and generalized dimensions, we devote the following chapters to the use of EVT to compute such dimensional quantities. One of these methods defines naturally a novel global indicator on the hyperbolic properties of the system. In these chapters, we will present several numerical applications of the methods, both in real world and idealized systems, and study the influence of different kinds of noise on these indicators. We will then investigate a matter of physical importance related to EVT : the statistics of visits in some particular small target subsets of the phase-space, in particular for partly random, noisy systems. The results presented in this section are mostly numerical and conjectural, but reveal some universal behavior of the statistics of visits. The eighth chapter makes the connection between several local quantities associated to the dynamics and computed using a finite amount of data (local dimensions, hitting times, return times) and the generalized dimensions of the system, that are computable by EVT methods. These relations, stated in the language of large deviation theory (that we will briefly present), have profound physical implications, and constitute a conceptual framework in which the distribution of such computed local quantities can be understood. We then take advantage of these connections to design further methods to compute the generalized dimensions of a system. Finally, in the last part of the thesis, which is more experimental, we extend the dynamical theory of extreme events to more complex observables, which will allow us to study phenomena evolving over long temporal scales. We will consider the example of firing cascades in a model of neural network. Through this example, we will introduce a novel approach to study such complex systems.

Keywords : Dynamical Systèms, Extreme Value Theory, Thermodynamic Formalism, Fractal Dimensions