Soutenance de thèse - Monsieur Mohamed Mouneime M’MADI ISSIMAIL (CPT)

Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que

Monsieur Mohamed Mouneime M’MADI ISSIMAIL

Doctorant en codirection au laboratoire CPT

sous la direction de

M. Joachim ASCH, Maitre de Conférences- HDR, Université de Toulon (France), directeur de thèse

co-encadré par

M. Abdou MOHAMED HOUSSEINE, Maitre de Conférences, Université des Comores (Comores), Co-encadrant

soutiendra publiquement sa thèse en vue de l’obtention du

Doctorat en Mathématiques

sur le thème suivant :

« Théorie mathématique du transport topologique pour des modèles unitaires sur réseaux »

Mardi 17 décembre 2019 à 14h00

à l’ Université de Toulon - Campus de Toulon Centre ville - Bâtiment Pi – Amphi BA.710

devant un jury composé de :

  • M. Olivier BOURGET, Professeur des Universités, Pontificia Universidad Catolica (Chili), Rapporteur
  • M. Alain JOYE, Professeur des Universités, Université de Grenoble Alpes (France), Rapporteur
  • M. Walter ASCHBACHER, Professeur des Universités, Université de Toulon (France), Examinateur
  • M. Vojkan JAKSIC, Professeur des Universités, Université McGill de Montréal (Canada), Examinateur
  • Mme. Annalisa PANATI, Maitre de Conférences, Université de Toulon (France), Examinatrice
  • M. Abdou MOHAMED HOUSSEINE, Maitre de Conférences, Université des Comores (Comores), Co-encadrant
  • M. Joachim ASCH, Maitre de Conférences- HDR, Université de Toulon (France), directeur de thèse

Résumé

Nous étudions des systèmes dynamiques quantiques discrets décrits par un opérateur unitaire U agissant sur l’espace des fonctions carré sommables défini sur les sommets d’un graphe infini dénombrable.

Nous considérons certaines classes d’opérateurs U dépendants de paramètres. Nous sommes intéressés par des propriétés spectrales qui sont topologiques, donc caractérisé par nombre entier qui dépend continûment des paramètres du système.
En une dimension et pour une classe de marches quantiques, nous avons démontré l’existence de valeurs propres, indépendantes de petites ou compactes perturbations. En dimension deux, nous avons obtenu trois résultats concernant la stabilité du spectre absolument continu de U couvrant tout le cercle unité.

Nous avons utilisé la théorie des opérateurs fibrés pour donner un aperçu des propriétés spectrales dans le cas où les paramètres sont invariants par translation. Pour les considérations topologiques, nous avons utilisé la théorie de l’ensemble des opérateurs de Fredholm. Pour le cas des valeurs propres stables nous avons démontré une borne inférieure non triviale et explicite sur leur nombre en faisant appel au théorème d’indice de Toeplitz.

Pour nos trois résultats concernant la stabilité du spectre absolument continu nous avons exploité l’indice relatif d’une paire de projecteurs orthogonales. Pour chaque cas et pour une paire définie par U nous avons pu démontrer son non-trivialité. Ceci nous a permis d’utiliser des résultats récents concernant des implications spectrales pour les opérateurs U.

Mots clés : Modèles unitaires sur réseaux, marches quantiques, propriétés spectrales

Mathematical theory of topological transport in unitary network models

Abstract

We study certain discrete quantum dynamical systems which are described by unitary operators U acting on the space of square integrable functions defined on the vertices of a countably infinite graph.

We consider classes of operators U which depend on parameters. We are interested in topological spectral properties meaning that they are characterized by integers which depend continuously on the parameters of the system.

In one dimension, we proved the existence of eigenvalues which are constant with respect to continuous and compact perturbations. In two dimensions we have obtained results on the occurrence of stable absolutely continuous spectrum covering the whole unit circle for three different lattice models.

We made use of the theory of fibered operators to exhibit systematically the spectral properties of translation invariant operators U. For topological considerations, we used the set of Fredholm operators. For the case of the constant eigenvalues we proved a non-trivial and explicit lower bound on their number using the Toeplitz index theorem.

For our three results concerning the absolutely continuous spectrum stability we employed the relative index of a pair of orthogonal projections. For each of the three cases we established its non-triviality for a pair involving U, and then made use of recently proved results concerning the implications on the spectrum of U.

Keywords : Unitary Network Models, Quantum Walks, topological spectral properties