Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que
Monsieur Xavier LUCIANI
Maitre de Conférences au laboratoire LIS
soutiendra publiquement son mémoire d’Habilitation à Diriger des Recherches
sur le thème
« Décomposition Canonique Polyadique de Tenseurs et Diagonalisation Conjointe de Matrices, Méthodes, Algorithmes et Applications en Séparation de Sources »
Discipline : « Informatique »
Spécialité : « Traitement du Signal »
Jeudi 22 juin 2023 à 14h00
A l’Université de Toulon – Campus La Garde – Bâtiment M – Amphi 01
devant un jury composé de :
M. Rémy BOYER, Professeur à l’Université de Lille, UMR CRIStAL, Rapporteur
M. David BRIE, Professeur à l’Université de Lorraine, CRAN, Rapporteur
M. Jérôme MARS, Professeur à l’Université Grenoble Alpes, GIPSA-lab, Rapporteur
M. Rémi GRIBONVAL, Directeur de Recherche à l’INRIA, ENS Lyon, LIP, Examinateur
M. Laurent ALBERA, Professeur à l’Université de Rennes 1, LTSI, Examinateur
Mme Nadège THIRION MOREAU, Professeure à l’Université de Toulon, LIS, Examinatrice
M. Éric MOREAU, Professeur à l’Université de Toulon, LIS, Garant
Résumé :
En traitement du signal, la Décomposition Canonique Polyadique (DCP) consiste à décomposer un tableau multidimensionnel (appelé ici tenseur) en une combinaison multilinéaire d’un minimum de facteurs, comprenant généralement les signaux d’intérêt. Cette approche est donc couramment utilisée en séparation de sources, identification de mélange et plus généralement pour la résolution de problèmes inverses. Elle a de nombreux avantages et permet par exemple de séparer des mélanges sous déterminés aussi bien dans un cadre stochastique que déterministe.
De nombreux liens ont été établis entre la DCP et le problème de diagonalisation conjointe de matrices, problème que l’on retrouve également au cœur de nombreuses méthodes de séparation de sources. Les travaux présentés dans ce mémoire concernent principalement l’étude de l’un de ces liens et sa mise en œuvre algorithmique.
Nous montrerons ainsi dans un premier temps comment réécrire la DCP sous la forme d’une Diagonalisation Conjointe de matrices par Similitude (DCS) afin d’en dériver un algorithme de calcul efficace. Cela nous conduira par la suite à proposer plusieurs familles d’algorithmes de DCS permettant notamment de traiter le cas de signaux à valeurs complexes ou de tenir compte de contraintes de non négativité. Trois applications dans des domaines très différents seront proposées :en télécommunications numériques, analyse d’électroencéphalogramme et spectroscopie de fluorescence. Cette dernière application occupera une place plus importante dans le mémoire puisque nous proposerons au travers d’elle un autre algorithme de DCP permettant la mise à jour des facteurs de la décomposition (et de leur nombre) au fil de l’acquisition de nouveaux signaux. Cette méthode, robuste à la surestimation du nombre de facteurs est basée sur une approche de type apprentissage par dictionnaire et une contrainte de parcimonie.
Tout cela nous permettra enfin de définir un projet de recherche pour les années à venir, articulé autour de deux axes principaux. Le premier axe est celui de la DCS. Nous essaierons de montrer comment celle-ci peut être utile pour résoudre de nombreux autres problèmes de diagonalisation conjointe, de DCP et plus généralement de séparation de sources. Nous nous intéresserons aux trois aspects : théorique, algorithmique et applicatif. Le deuxième axe principal consistera à étendre les notions de DCP et de DCS aux tenseurs et matrices dont les éléments appartiennent à l’algèbre des quaternions. Cette algèbre étant non commutative cela pose d’emblée de nombreuses questions théoriques et algorithmiques et, comme nous le verrons, ouvre autant de perspectives à court, moyen et long termes. Nous veillerons à donner pour chacun de ces deux axes plusieurs pistes de réflexion concrètes et de premiers résultats encourageants.
