Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que
Doctorant au laboratoire IMATH rattaché à l’École Doctorale 548 « Mer & Sciences » (France)
Monsieur Ali ISSA
soutiendra sa thèse en vue de l’obtention du Grade de Docteur
sous la direction de
M. Yves AUBRY, Maître de Conférences-HDR, Université de Toulon (France), Directeur de thèse
&
M. Fabien HERBAUT; Maître de Conférences, Université Côe d’Azur (France), Co-encadrant de thèse
Discipline : Mathématiques
sur le thème
Sur l’uniformité différentielle des polynômes sur les corps finis de caractéristique paire
Jeudi 17 novembre 2022 à 15h000
A l’Université de Toulon – Campus La Garde – Bâtiment M – Amphi M.01
devant un jury composé de
M. Jean-Marc COUVEIGNES, Professeur des universités, Université de Bordeaux (France), Rapporteur
M. David KOHEL, Professeur des universités, Aix-Marseille Université (France), Rapporteur
Mme Christina BOURA, Maître de Conférences, Université de Versailles-Saint Quentin (France), Examinatrice
M. Pierre DÈBES, Professeur des universités, Université Lille 1 (France), Examinateur
M. Gary MCGUIRE, Professeur des universités, University College Dublin (Irlande), Examinateur
M. Fabien HERBAUT, Maître de Conférences, Université Côte d’Azur (France), Co-encadrant
M. Yves AUBRY, Maître de conférences-HDR, Université de Toulon (France), Directeur de thèse
Résumé :
Nous étudions dans cette thèse l’uniformité différentielle des polynômes de degré pair définis sur des corps finis de caractéristique 2. Une caractérisation des polynômes Morse permet de comparer certains groupes de monodromie arithmétiques et géométriques et ainsi d’appliquer le théorème de densité de Chebotarev, central dans notre travail. On en déduit que pour certains degrés spécifiques m, les polynômes de degré m avec un second coefficient non nul ont une uniformité différentielle maximale, c’est-à-dire égale à m-2, sur une extension suffisamment grande du corps de base.
En particulier ces polynômes ne sont pas APN exceptionnels, ce qui apporte une contribution à la conjecture d’Aubry, McGuire et Rodier dans le sens où les cas des polynômes de ces degrés spécifiques étaient encore complètement ouverts dans les travaux sur le sujet.
Mots clés: Théorème de Chebotarev, groupes de monodromie et polynômes APN.
On the differential uniformity of polynomials over finite fields of even characteristic.
Abstract
We study in this Ph.D. thesis the differential uniformity of polynomials of even degree defined over finite fields of characteristic 2. A characterization of Morse polynomials enables to compare some arithmetic and geometric monodromy groups and thus to apply the Chebotarev’s density theorem which is central to our work. We deduce that the polynomials of some specific degree m, with a non-zero second leading coefficient have a maximal differential uniformity (that is equals to m-2), on sufficiently large extension of the base field.
In particular these polynomials are not exceptional APN. It contributes to the conjecture of Aubry, McGuire and Rodier in the sense that the cases of polynomials of these specific degrees were open.
Keywords: Chebotarev’s theorem, monodromy groups and APN polynomials.
